Walter Gubler's Algebra und Zahlentheorie [Lecture notes] PDF

By Walter Gubler

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3. 1 repr¨asentantenweise definierten Multiplikation und Addition einen kommutativen Ring. 2. h. dass [a · b] = [a · b] f¨ ur [a] = [a ] erf¨ ullt ist. 2. Nach Definition der Restklassen ist damit [a · b] = [a · b]. Analog hierzu bzw. 1) auch unabh¨ angig von der Wahl des Repr¨asentanten b definiert. Also ist die Multiplikation hiermit wohldefiniert auf R/I. Da sich die Ringaxiome repr¨ asentantenweise nachpr¨ ufen lassen, folgt die Behauptung. 4. Sei I ein Ideal von R. Oft schreiben wir daf¨ ur analog zu den Normalteilern nur I R.

Weil gj ∈ I, erhalten wir zusammen mit der Idealeigenschaft (ii) aj gj ∈ I und somit a = a1 g1 + · · · + ar gr ∈ I. , gr >⊆ I Beachte, dass dieser Beweis insbesondere die Existenz eines minimalen Ideals zeigt, das g1 , . . , gr enth¨ alt. 2. Die Elemente g1 , . . , gr werden genau dann Erzeugende eines Ideals I genannt, wenn I =< g1 , . . , gr > erf¨ ullt ist. 3. Ein Ideal I R heißt genau dann Hauptideal, wenn es ein g ∈ I gibt so, dass I =< g >, also I = Rg. Weiter heißt ein Ring R genau dann Hauptidealbereich, wenn R ein Integrit¨atsbereich und jedes Ideal von R ein Hauptideal ist.

6. Sei R ein kommutativer Ring. a ∈ R heißt genau dann Nullteiler, wenn es ein b ∈ R\{0} gibt mit a · b = 0. h. es gibt in R keine von 0 verschiedenen Nullteiler. 1. RINGE 51 Z wieder aufnehmen und verallgemeinern. Analog zu dem bereits Bekannten wollen wir f¨ ur a, b ∈ R sagen, dass a genau dann b teilt (in Zeichen: a|b; vgl. 1), wenn es ein c ∈ R gibt mit a · c = b. In diesem Fall nennen wir a den Teiler von b und b heißt das Vielfache von a. Die Teiler von 1 heißen Einheiten und sind per definitionem gleich den invertierbaren Elementen im Monoid (R, ·) Sie bilden also eine Gruppe, die wir wie gewohnt mit R∗ bezeichnen.

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by Jason
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